ஃபிபோனாச்சி நிலைகள்: பண்டைய நாகரிகங்கள் முதல் நிதிச் சந்தைகள் வரை

உலகளவில் விஞ்ஞானிகள், பொறியாளர்கள், கலைஞர்கள், ஆராய்ச்சியாளர்கள் ஆகியோரைத் தொடர்ந்து ஊக்கமளிக்கும் ஃபிபோனாச்சி வரிசை மிகவும் பிரபலமான, வியக்க வைக்கும் கணித கண்டுபிடிப்புகளில் ஒன்றாகும். இது கணிதம் மற்றும் இயற்கை, கலாச்சாரம், மற்றும் தொழில்நுட்பச் செயல்முறைகளுக்கு இடையே உள்ள ஆழமான தொடர்பைக் காட்டுகிறது. இந்த உலகளாவிய கருத்துரு, மனிதச் செயல்பாட்டின் பல்வேறு துறைகளில் சுருக்க கணித யோசனைகள் எவ்வாறு நடைமுறை பயன்பாட்டைக் கண்டறிய முடியும் என்பதற்கான தெளிவான எடுத்துக்காட்டு, இது உலகில் உள்ள அனைத்து நிகழ்வுகளின் ஒன்றோடொன்று இணைக்கப்பட்ட கருத்தை உறுதிப்படுத்துகிறது. நிதிச் சந்தைகளில் வர்த்தகம் உட்பட, ஃபிபோனாச்சி வரிசை தீவிரமாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. மெட்டாடிரேடர்4 (எம்டி4) இயங்குதளத்தில், உள்ளமைக்கப்பட்ட கிராஃபிக் கருவிகளில், டிரா ஃபிபோனாச்சி திரும்பப்பெறுதல் அல்லது மாற்றுதல் விருப்பத்தைக் காணலாம். அதைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், ஒரு வர்த்தகர் சாத்தியமான ஆதரவு மற்றும் எதிர்ப்பு நிலைகளைக்  ஆதரவு மற்றும் எதிர்ப்பு நிலைகளைக்கண்டறிந்து, சாத்தியமான விலை மாற்றப் புள்ளிகளைக் கணக்கிட முடியும். எனவே, இந்த கணித மேதை யார், அவருடைய வரிசை என்னசெய்கிறது?

லியோனார்டஸ் பிசானஸ்

லியோனார்டோ ஆஃப் பிசா, ஃபிபோனாச்சி என்று நன்கு அறியப்பட்டவர், 1170-இல் பீசாவில் (ஒரு நகர-மாநிலம், இப்போது இத்தாலியின் ஒரு பகுதி) பிறந்தார். லியோனார்டோ தன்னை ஒருபோதும் "ஃபிபோனாச்சி" என்று அழைத்ததில்லை. 1506ஆம் ஆண்டிலிருந்து புனித ரோமானியப் பேரரசின் நோட்டரி பெரிசோலோ டா பிசாவின் பதிவுகளில் "லியோனார்டோ ஃபிபோனாச்சி" பற்றிய முதல் அறியப்பட்ட குறிப்பு காணப்படுகிறது. ஃபிபோனாச்சி என்ற சொல் "ஃபிலியஸ் போனாச்சி" என்ற இரண்டு சொற்களின் சுருக்கம் ஆகும். "புக் ஆஃப் அபாகஸின்" அட்டைப்படம், மேலும் அது "போனாச்சியின் மகன்" என்று பொருள்படும். மற்றொரு கோட்பாட்டின்படி, "போனாச்சி" என்பது "அதிர்ஷ்டசாலி" என்று பொருள்படும் புனைப்பெயராக விளக்கப்படலாம். இந்த கணிதவியலாளர் பொதுவாக "போனாச்சி" என்று கையொப்பமிட்டார், இருப்பினும், அவர் சில நேரங்களில் "லியோனார்டோ பிகோல்லோ" (டஸ்கன் பேச்சுவழக்கில் "பிகோல்லோ" என்ற சொல் "அலைந்து திரிபவர்" மற்றும் "சோம்பேறி" என்று பொருள்) என்ற பெயரையும் பயன்படுத்தினார்.

ஒரு வணிகக் குடும்பத்தில் வளர்ந்த லியோனார்டோவுக்கு சிறுவயதில் இருந்தே வணிகம் மற்றும் கணிதத்தின் நடைமுறை அம்சங்கள் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, அவரது அறிவியல் ஆர்வங்களும் சாதனைகளும் கணிசமாக வடிவமைக்கப்பட்டது. அவரது தந்தை வணிக விஷயங்களுக்காக அல்ஜீரியாவுக்கு அடிக்கடி பயணம் செய்தார், அங்கு லியனார்டோ அரபு ஆசிரியர்களிடம் கணிதம் பயின்றார். பின்னர், ஃபிபோனாச்சி எகிப்து, சிரியா, பைசான்டியம் ஆகிய நாடுகளுக்குச் சென்றார், அரபு மொழிபெயர்ப்பில் பண்டைய மற்றும் இந்திய கணிதவியலாளர்களின் படைப்புகளை அறிந்து கொண்டார். இந்த அறிவைப் பயன்படுத்தி, ஃபிபோனாச்சி பல கணிதக் கட்டுரைகளை எழுதினார், அதில் மிகவும் குறிப்பிடத்தக்கது, "புக் ஆஃப் அபாகஸ்" (இலத்தீன்: லிபர் அபாசி), முதன்முதலில் 1202-இல் வெளியிடப்பட்டது, 1228-இல் திருத்தப்பட்ட பதிப்புடன் வெளியிடப்பட்டது.

இந்தப் புத்தகம் தசம எண்கணிதத்தை வெளிப்படுத்துவதற்கும் மேம்படுத்துவதற்கும் அர்ப்பணிக்கப்பட்டது, அத்துடன் பூஜ்ஜியத்தின் கருத்து உட்பட இந்தோ-அரேபிய எண்களின் பரவலுக்கு அடித்தளம் அமைத்தது. இந்த வேலையில், ஃபிபோனாச்சி இந்த எண்களின் திறனை ஆராய்ந்தார், முன்பு தவறாகப் புரிந்து கொள்ளப்பட்ட, ஐரோப்பிய கணிதத்தை தீவிரமாக மாற்றினார். முக்கியமாக, "புக் ஆஃப் அபாகஸ்" எளிமையான மொழியில் எழுதப்பட்டது, அதன் பண்டைய மற்றும் இஸ்லாமிய முன்மாதிரிகளை விட மிகவும் தெளிவாக இருந்தது. முதன்மையாக வணிகர்களை இலக்காகக் கொண்டு அது வழங்கிய நடைமுறைக் கணக்குகள் அதன் புகழையும் பிரபலத்தையும் எளிதாக்கியது.

முயல் இனப்பெருக்கம் கணக்கு

ஃபிபோனாச்சியின் கணிதத்தில் மிகவும் புகழ்பெற்ற பங்களிப்பு அவரது பெயரைக் கொண்டிருக்கும் எண்களில் இருந்து வருகிறது. "புக் ஆஃப் அபாகஸ்"-இல் கோடிட்டுக் காட்டப்பட்டுள்ள முயல் இனப்பெருக்கம் பற்றிய கணக்கு ஆகும், புகழ்பெற்ற வரிசையை உருவாக்குவதற்கு வழிவகுத்த ஒரு சிறந்த எடுத்துக்காட்டு. முயல்களிடையே மக்கள்தொகை வளர்ச்சியின் கோட்பாட்டை விளக்குவதற்கு இந்த கணக்கு முன்மொழியப்பட்டது. இது பின்வருமாறு கூறப்பட்டுள்ளது: புதிதாகப் பிறந்த ஒரு ஜோடி முயல்கள், ஒரு ஆண் மற்றும் ஒரு பெண் என்று வைத்துக்கொள்வோம். முயல்கள் ஒரு மாத வயதை எட்டியதும் இனப்பெருக்கம் செய்ய ஆரம்பிக்கும். ஒவ்வொரு மாதத்தின் முடிவிலும், ஒவ்வொரு வயது வந்த ஜோடியும் ஒரு புதிய ஜோடி முயல்களை (ஒரு ஆண் மற்றும் ஒரு பெண்) உற்பத்தி செய்கின்றன. இந்த விதிகளின்படி முயல்கள் இறக்காது மேலும் தொடர்ந்து இனப்பெருக்கம் செய்வதாகக் கருதினால், ஒரு ஆண்டில் எத்தனை ஜோடி முயல்கள் இருக்கும்?

இந்த வினாவிற்கான விடையின் சாராம்சம், ஒவ்வொரு அடுத்த மாதத்திலும் முயல் ஜோடிகளின் எண்ணிக்கை முந்தைய மாதத்தில் உள்ள ஜோடிகளின் எண்ணிக்கையானது மற்றும் அதற்கு முந்தைய மாதத்தில் புதிதாகப் பிறந்த ஜோடிகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருக்கும். ஏனென்றால், ஒவ்வொரு வயது வந்த ஜோடியும் மொத்த எண்ணிக்கையில் மேலும் ஒரு ஜோடியை பங்களிக்கிறது. எனவே, வரிசை பின்வருமாறு: (0), 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, மற்றும் பல, ஒவ்வொரு எண்ணும் முந்தைய இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகை ஆகும். இந்த வரிசை ஃபிபோனாச்சி வரிசை என்று அறியப்பட்டது.

கோல்டன் ரேஷியோ உடனான தொடர்பு

ஃபிபோனாச்சி வரிசையானது மக்கள்தொகை வளர்ச்சியின் கணித மாதிரியை நிரூபிப்பது மட்டுமின்றி, கணிதம் மற்றும் இயற்கை விதிகளுக்கு இடையே உள்ள இடைவினையையும் காட்டுகிறது, அதை கோல்டன் ரேஷியோவுடன் நெருக்கமாக இணைக்கிறது.

கோல்டன் ரேஷியோவின் தோற்றம் வரலாற்றில் ஆழமாக நீண்டுள்ளது. சில ஆய்வுகள் பண்டைய எகிப்தியர்கள் இதைப் பற்றி அறிந்திருக்கலாம் என்று கூறுகின்றன, குறிப்பாக பிரமிடுகளின் கட்டுமானத்தில், சான்றுகள் பல்வேறு வழிகளில் விளக்கப்படலாம். கோல்டன் ரேஷியோ கோட்பாடுகளின் முதல் அறியப்பட்ட முறையான வெளிப்பாடு பண்டைய கிரேக்க கணிதவியலாளர் யூக்லிட் என்பவரால் கூறப்பட்டது, அவர் "எலிமென்ட்ஸ்" என்ற தனது படைப்பில் ஒரு பிரிவை "தீவிர மற்றும் சராசரி விகிதமாக" பிரிப்பதை விவரித்தார். யூக்ளிட் இந்த விகிதத்தின் கணித அடிப்படையை வகுத்தார், ஆனால் அது இன்று கொண்டுள்ள அழகியல் மதிப்பை அதற்குக் கூறவில்லை. பண்டைய கிரேக்கத்தில் இந்த விகிதத்தின் அடுத்தடுத்த நடைமுறை எடுத்துக்காட்டுகளில் ஏதென்ஸில் உள்ள பிரபலமான பார்த்தீனான் (கிமு 447-438) ஆகும், இது கட்டிடக்கலைஞர்களான இக்டினஸ், காலிக்ரேட்ஸ் ஆகியோரால் கூறப்படுகிறது.

மறுமலர்ச்சியின்போது, லியானார்டோ டாவின்சி, லு கார்பூசியர் போன்ற கலைஞர்கள், கட்டிடக் கலைஞர்கள் ஆகியோருக்கு கோல்டன் ரேஷியோவில் ஆர்வம் அதிகரித்தது, நல்லிணக்கத்தையும் வடிவத்தின் முழுமையையும் அடைய முயற்சித்து இதை அவர்களின் படைப்புகளில் தீவிரமாக பயன்படுத்தத் தொடங்கினர். லியோனார்டோ டா வின்சி கோல்டன் ரேஷியோவை ஆராய்ந்து, "மோனாலிசா" மற்றும் "விட்ருவியன் மேன்" உள்ளிட்ட அவரது புகழ்பெற்ற படைப்புகளில் அதைப் பயன்படுத்தினார். அவர் கோல்டன் ரேஷியோவை "தெய்வீக விகிதாச்சாரம்" என்று குறிப்பிட்டார், இது கலை மற்றும் கட்டிடக்கலைக்கு அதன் ஆழமான முக்கியத்துவத்தை எடுத்துக்காட்டுகிறது.

அப்படியானால், இந்த "தெய்வீக விகிதாச்சாரம்" என்றால் என்ன? இது 1.618033988749895-க்கு சமமான கிரேக்க எழுத்தான φ (பி) மூலம் குறிக்கப்படும் ஒரு விகிதாச்சார எண்ணாகும். ஒரு கோடு (அல்லது வேறொரு பொருளை) வகுக்கும்போது இந்த விகிதம் எழுகிறது, அது பெரிய பகுதிக்கு முழு விகிதமும் பெரிய பகுதியின் விகிதத்திற்கு சமமாக இருக்கும்.

ஃபிபோனாச்சி வரிசைக்கும் கோல்டன் ரேஷியோவிற்கும் இடையே உள்ள தொடர்பு, அந்த வரிசையில் நாம் எவ்வளவு தூரம் முன்னேறுகிறோமோ, அந்த அளவுக்கு இரண்டு தொடர்ச்சியான ஃபிபோனாச்சி எண்களின் விகிதம் கோல்டன் ரேஷியோவுக்கு வருகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, 13 என்ற வரிசையில் உள்ள முந்தைய எண்ணால் 21 என்ற எண்ணை வகுத்தால் தோராயமாக 1.615 கிடைக்கும். வரிசையில் எண்கள் அதிகரிக்கும்போது, இந்த விகிதம் 1.618 அல்லது "தெய்வீக விகிதாச்சாரத்திற்கு" நெருக்கமாகிறது. 

இந்த தொடர்பு கணிதத்தில் மட்டுமல்ல, இயற்கை, கலை, கட்டிடக்கலை மற்றும் பிற துறைகளிலும் பிரதிபலிக்கிறது, அங்கு கோல்டன் ரேஷியோவுக்கு நெருக்கமான விகிதாச்சாரங்கள் குறிப்பாக இணக்கமானதாகவும் அழகியல் ரீதியாகவும் கருதப்படுகின்றன. அதன் தனித்துவமான பண்புகள் மற்றும் நல்லிணக்கத்தின் யோசனையின் உருவகம் கோல்டன் ரேஷியோவை ஆய்வு மற்றும் பயன்பாட்டின் நித்திய விஷயமாக ஆக்குகிறது.

ஃபிபோனாச்சி எண்களைப் பயன்படுத்துதல்

கோல்டன் ரேஷியோவுடன் ஃபிபோனாச்சி வரிசையின் நெருங்கிய தொடர்பு, இயற்கை வடிவங்கள் மற்றும் நிகழ்வுகளை பகுப்பாய்வு செய்வதற்கும் புரிந்துகொள்வதற்கும் ஒரு தனித்துவமான கருவியாக அமைகிறது. தாவரங்களில் இலைகள் மற்றும் பூக்கள் அமைவது முதல் விண்மீன்களின் சுருள்கள் வரை பல்வேறு அறிவியல் துறைகளின் பல அம்சங்களில் ஃபிபோனாச்சி எண்கள் காணப்படுகின்றன. இசையில், சில இசையமைப்பாளர்கள் ஃபிபோனாச்சி எண்களுடன் மெல்லிசை அல்லது இணக்கப் பிரிவுகளின் நீளத்தை வரையறுப்பதன் மூலம் தங்கள் படைப்புகளை கட்டமைத்துள்ளனர். 

உயிரியலில், இந்த எண்கள் இலைகள், கிளைகள், பூக்களில் உள்ள விதைகளின் அமைப்பை விளக்குகின்றன, இது சூரிய ஒளி மற்றும் பிற வளங்களின் வெளிப்பாடுகளை அதிகரிக்க உதவுகிறது. உதாரணமாக, சூரியகாந்தியில், ஒரு திசையில் உள்ள விதை சுருள்களின் எண்ணிக்கை, மற்றொன்று தொடர்ச்சியான ஃபிபோனாச்சி எண்களுக்கு ஒத்திருக்கும். அசல் முயல் கணக்கைப் போலவே, இந்த வரிசையானது பல்வேறு உயிரியல் இனங்களுக்கான யதார்த்தமான மக்கள்தொகை வளர்ச்சி காட்சிகளை மாதிரியாக மாற்றும்.

குவாண்டம் இயற்பியலில், ஃபிபோனாச்சி போன்ற வரிசைகள் குவாசிகிரிஸ்டல்கள், பிற சிக்கலான கட்டமைப்புகளின் சில பண்புகளை விவரிக்கலாம். சில இரசாயன சேர்மங்களின் மூலக்கூறுகளில் உள்ள அணுக்களின் அமைப்பு ஃபிபோனாச்சிக்கு ஒத்த ஒரு வரிசையைப் பின்பற்றுகிறது, இது அவற்றின் இயற்பியல் மற்றும் வேதியியல் பண்புகளை பாதிக்கிறது. நிரலாக்கத்தில், ஃபிபோனாச்சி வரிசையானது சுழல்நிலை மற்றும் மறுசெயல்முறை அல்காரிதம்களை கற்பிக்க பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. கற்றல் செயல்முறைகள் மற்றும் வடிவ அடையாளத்தை கண்டறிவதை மேம்படுத்த சில செயற்கை நுண்ணறிவு மாதிரிகளில் இது பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. சிக்கலான பிரச்சினையை மதிப்பிடுதல், தரவுத்தள வினவல்களை மேம்படுத்துதல், கணினி செயல்திறனை மேம்படுத்துதல் உட்பட, இது தேர்வுமுறைக் கோட்பாடு மற்றும் திறமையான அல்காரிதம்களின் வளர்ச்சியிலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

நிச்சயமற்ற நிலையில் முடிவெடுக்கும்போது, எடுத்துக்காட்டாக, நிகழ்தகவுகளை மதிப்பிடும்போது, ஃபிபோனாச்சி வரிசையைப் போன்ற கோட்பாடுகளை மக்கள் உள்ளுணர்வாகப் பயன்படுத்துகிறார்கள் என்று உளவியல் ஆராய்ச்சி காட்டுகிறது. இந்த நிகழ்வு நிதிச் சந்தைகளில் வர்த்தகம், கணிதம் மற்றும் சந்தை உள்ளுணர்வு ஆகியவற்றை ஒன்றிணைப்பதில் பயன்பாட்டைக் கண்டறிந்துள்ளது, இதை ஒரு தனிக் கட்டுரையில் நாம் விரிவாக விவாதிப்போம்.